数学の世界に登場する「無限」とはどのようなものか。パンサー尾形貴弘が難解な数学の世界を大真面目に解説するNHKの知的エンターテインメント番組「笑わない数学」の放送内容を再構成した書籍より、一部を紹介する――。
※本稿は、NHK「笑わない数学」制作班編『笑わない数学』（KADOKAWA）の一部を再編集したものです。
写真＝時事通信フォト
「ツール・ド・東北 2019」記者発表会に出席した、（左から）お笑いトリオ「パンサー」の菅良太郎さん、向井慧さん、尾形貴弘さん（2019年5月14日、東京都）
数学の世界では気軽に登場する「無限」
皆さんは「無限」と聞いて何を想像するでしょうか？
とても大きいこと？ とてもたくさんあること？ あるいは、文字通り「限りが無い」こと？
でも、とてもたくさんって、どれくらい？ 限りがないって、どういうこと？
考え出すとわからなくなる無限ですが、数学の世界では無限が気軽に登場します。私たちにとって身近な、1，2，3，……と並ぶ「自然数」すら、限りなく続く不思議な数です。
では、ここでクイズです。
無限にある自然数1，2，3，……の個数をなんらかの方法で数えたとします。
同じように、無限にある偶数2，4，6，……の個数も数えたとします。
クイズ
自然数の個数と偶数の個数はどちらが大きいでしょうか？
それとも、どちらも同じ大きさでしょうか？
直感的には、自然数の方が大きそうですよね。自然数には偶数以外の数が含まれていますから。たとえば、3は自然数ですが偶数ではありませんので、自然数の方が大きいように思えます。
「無限」を比べるためのシンプルな方法
でもおかしくないですか？ 偶数は無限にあるのに、それよりも「多い」ものがあるなんてこと、あり得るのでしょうか？ 偶数より多いものがあるのなら、偶数には「限りがある」＝「無限じゃない」ってことになってしまいますよね？
では、このクイズについて考えてみましょう。方法は簡単です。偶数を先頭から数える、つまり自然数と結びつけていけばよいのです。
2は最初の偶数なので1と結びつきます。4はその次の偶数なので2と結びつきます。6は3と、8は4と、……といった調子でどんどん結びつけていくと、すべての自然数と偶数が1対1に結びつき、1個たりとも余りません。
よって、自然数と偶数はどちらも同じ大きさであることがわかりました。
このように、「ひとつずつ結んでいって、余りがなければ同じ個数」という、ごく自然な考え方を使って、無限を比べることができるのです。
からの記事と詳細 ( 数学の本質は､その自由性にあり…｢普通の無限｣と｢でっかい無限｣をみつけた天才カントールのすごい発想 ｢究極の自由人｣が数学界のタブーを打ち破った - PRESIDENT Online )
https://ift.tt/unq793v
普通の
No comments:
Post a Comment